https://www.jstage.jst.go.jp/article/jcej1968/20/4/20_4_405/_pdf この文献を参考にしたらどうか？ 俺もかつてクロマトのシミュレーションや理論的解析に夢中になっていて一種の移流拡散方程式の数値解法をやっていたが位置と時間のpdeを解くのにtを固定して位置について差分法か有限要素法で解析した事があるので、参考までに。

http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/jspui/bitstream/2237/16109/3/%C2%A718%E5%88%86%E5%B8%83%E5%BC%8F%E3%81%A8%E9%81%B7%E7%A7%BB.pdf この文献に詳しく出てます。

http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/jspui/bitstream/2237/16109/13/%C2%A78%E5%A4%9A%E9%9B%BB%E5%AD%90%E7%B3%BB.pdf 此処を見れば詳しく欠いてある。