- 著者
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エルバドラウイ ジャマル
山田 功
- 出版者
- 一般社団法人電子情報通信学会
- 雑誌
- 電子情報通信学会技術研究報告. IE, 画像工学 (ISSN:09135685)
- 巻号頁・発行日
- vol.105, no.30, pp.31-36, 2005-04-15
悪条件(Ill-condition)の線形逆問題に「(出力誤差の2乗平均値の最小化を指導原理とする)線形最小2乗法」を適用すると, 「パラメータ推定値と真値との2乗平均誤差」は, 線形モデルの係数行列が持つ"非零特異値"の逆数の2乗のオーダとなり, 満足のいく結果を与えない。1970年にMarquardtは, 雑音モデルが加法性白色雑音と仮定できるとき, 係数行列の低階数最良近似行列の「(Moore-Penrose型)一般逆行列(注 : この行列も低階数行列となる)」を推定行列に用い, 推定精度の大幅な改善に成功している。Marquardtの結果は, 低階数行列の中に最小2乗法に優る推定法の存在を示した点で注目されるが, 『低階数行列全体の中で, Marquardtの推定行列の(統計学的な最適化規範に基づいた)"位置付け"』については, 明確な議論が見当たらない。小文では, 「低階数行列は不偏推定行列にならない」という基本事実に注目し, 低階数行列の「擬似不偏性」という概念を定義する。更に「擬似不偏性」を満足する全ての低階数推定行列の中で「最小の分散値」を達成する推定行列(『最小分散低階数擬似不偏推定行列』)を定義し, その代数的構造を明らかにしている(主定理)。「擬似不偏性」は「不偏性」の自然な一般化であり, 「最小分散低階数擬似不偏推定行列」は, 「最小分散不偏推定行列(Gauss-Markov estimator)」の自然な一般化となっている。主定理は, 加法雑音が白色となる場合に, Marquardtの推定行列が「最小分散低階数擬似不偏推定行列」として位置づけられることも示しており, 「最小分散低階数擬似不偏推定行列」がMarquardtの推定行列の非自明な一般化であることを明らかにしている。