著者

酒井 隆 清原 一吉 伊藤 仁一 勝田 篤 森 義之

出版者

岡山理科大学

雑誌

基盤研究(C)

巻号頁・発行日

2005

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コンパクト・リーマン多様体上の1点pからの距離関数d_pは重要な幾何学的関数であり,多様体の構造とも関連する.しかしd_pは微分可能でない点を許容し,それはpの切断跡(cut locus)に含まれる.さて,距離関数に対しても危点の概念が定義されるが,危点ではd_pは微分可能ではない.危点を含まない場合には,距離関数に対しても通常のモース理論(イソトピー補題)が得られており,多くの幾何学的応用を持つ.他方,危点を許容する場合にモース理論を展開するためには,まずその指数の概念を定義する必要がある.本研究において,代表者の酒井隆はリーマン計量が自然な非退化性条件を満たすとき,分担者の伊藤仁一と共にこれを実行し,幾何学的な立場から直接に距離関数のモース理論を展開した(掲載済み).その際,切断跡が良い構造(stratification)を持つことを示すのが重要で,危点qの指数はp,qを結ぶ最短測地線の個数とqを含むstratumへの距離関数の制限(これは微分可能でqはその危点である)のqでの通常の指数を用いて書ける.この条件がどの程度まで一般的かについてはさらに考察を続けたい.距離関数に関連して,清原一吉は可積分湖地流の立場から一般次元楕円面(やあるクラスのLiouville多様体)の一般点の切断跡,共役跡の構造を伊藤と共に研究し,勝田篤は境界付リーマン多様体の境界からの距離関数から内部のリーマン計量を復元する逆問題を考察した。計量不変量の間の不等式(等縮不等式・等径不等式),曲率非負のコンパクト・リーマン多様体のラプラシアンの第1固有値評価およびその摂動版については本質的な進展がなかったが,清原はアレキサンドロフ空間の幾何学的不等式に関する結果を得た.これらについては研究を継続する.森義之は量子コンピュータのアルゴリズムを研究し,酒井にコンピュータ支援を行った.