著者

酒井 隆 清原 一吉 伊藤 仁一 勝田 篤 森 義之

出版者

岡山理科大学

雑誌

基盤研究(C)

巻号頁・発行日

2005

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コンパクト・リーマン多様体上の1点pからの距離関数d_pは重要な幾何学的関数であり,多様体の構造とも関連する.しかしd_pは微分可能でない点を許容し,それはpの切断跡(cut locus)に含まれる.さて,距離関数に対しても危点の概念が定義されるが,危点ではd_pは微分可能ではない.危点を含まない場合には,距離関数に対しても通常のモース理論(イソトピー補題)が得られており,多くの幾何学的応用を持つ.他方,危点を許容する場合にモース理論を展開するためには,まずその指数の概念を定義する必要がある.本研究において,代表者の酒井隆はリーマン計量が自然な非退化性条件を満たすとき,分担者の伊藤仁一と共にこれを実行し,幾何学的な立場から直接に距離関数のモース理論を展開した(掲載済み).その際,切断跡が良い構造(stratification)を持つことを示すのが重要で,危点qの指数はp,qを結ぶ最短測地線の個数とqを含むstratumへの距離関数の制限(これは微分可能でqはその危点である)のqでの通常の指数を用いて書ける.この条件がどの程度まで一般的かについてはさらに考察を続けたい.距離関数に関連して,清原一吉は可積分湖地流の立場から一般次元楕円面(やあるクラスのLiouville多様体)の一般点の切断跡,共役跡の構造を伊藤と共に研究し,勝田篤は境界付リーマン多様体の境界からの距離関数から内部のリーマン計量を復元する逆問題を考察した。計量不変量の間の不等式(等縮不等式・等径不等式),曲率非負のコンパクト・リーマン多様体のラプラシアンの第1固有値評価およびその摂動版については本質的な進展がなかったが,清原はアレキサンドロフ空間の幾何学的不等式に関する結果を得た.これらについては研究を継続する.森義之は量子コンピュータのアルゴリズムを研究し,酒井にコンピュータ支援を行った.

著者

山口 佳三 石川 剛郎 清原 一吉 泉屋 周一 佐々木 武 佐藤 肇 大仁田 義裕 中居 功

出版者

北海道大学

雑誌

基盤研究(A)

巻号頁・発行日

1999

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研究の目的は,微分方程式系をJet空間の部分多様体として,幾何学的対象ととらえて,接触同値問題を核に,微分幾何学および特異点論の手法で研究することにある。今年度は最終年であるので,当初に掲げたつぎの6つのテーマをそれぞれまとめる研究を行った。(1)二階一未知関数偏微分方程式系の接触同値問題,特にE.CartanによるG_2-modelを多変数に一般化したG_2-型偏微分方程式系の研究。(2)Monge-Ampere方程式の解の特異点と衝撃波の構成。(3)微分方程式系のsymbolより生じる階別Lie環の研究および高階有限型微分方程式系(完全積分可能系)の同値問題とその応用。(4)線形高階有限系微分方程式系の同値問題の射影部分多様体論とGauss-Schwarz理論への応用。(5)微分式系の種数の概念のWebb幾何による意味付け。(6)測地流が完全積分可能系となるRiemann多様体の構造解明。(1)の課題については、成果発表として,Duke大学Bryant教授,Columbia大学倉西教授,Minesota大学Olver教授を訪れ活発な討議と共同研究を行った。(2)の課題は、泉屋が,まとめを雑誌「数学」に発表した。(3),(4)の課題は、高階常微分方程式系の同値問題を含み、背足による線形可積分系の線形同値問題を接触同値問題に発展させる研究である。基本的な成果を今年,研究代表者が八ツ井とともに公表した。(4)については,背足の線形方程式系に対する剛性定理の射影幾何学的解釈を研究代表者が,Jun-Muk Hwang教授(KIAS)とともに,まとめた。(6)の課題は、Liouville曲面の一般化の研究であり、完全積分可能系の大局的理論である。清原が,今年はそのKahler版をまとめた。