著者

謝旭珍 柳浦睦憲 小野 孝夫 平田 富夫

出版者

一般社団法人情報処理学会

雑誌

情報処理学会研究報告アルゴリズム(AL) (ISSN:09196072)

巻号頁・発行日

vol.2007, no.66, pp.31-38, 2007-07-03

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グラフの均等辺彩色とは,多重無向グラフと色数が与えれたとき,任意の頂点と任意の2色に対して,その頂点に接続する辺のうちそれぞれの色で塗られているものの本数の差が高々2であるような辺彩色である.与えられたグラフの頂点数を$n$,辺数を$m$とし,色数を$k$とする.謝らは,任意の多重グラフを$O(m2/k)$時間で均等辺彩色するアルゴリズムを提案した.本論文では,彼らのアルゴリズムに変更を加え,初期辺彩色をランダムに与える場合の実行時間を解析する.そして,任意の定数$\varepsilon >0$に対し,実行時間が高い確率で$O(n^{1/2} m^{3/2+\varepsilon })$となることを示す.それは,グラフが密で$k$が小さいときには,既存のアルゴリズムよりも速くグラフを均等辺彩色できることを示す結果である.Given a multigraph $G=(V,E)$ with $n$ vertices and $m$ edges and a color set${\cal C}=\{1,2,\ldots,k\}$, the nearly equitable edge coloring is an assignment of given colors to edges in $G$ such that, among the edges incident to each vertex, the numbers of edges colored with any two colors differ by at most two. Xie~et~al. presented an algorithm to solve this problem in $O(m2/k)$ time. In this paper, we investigate the running time of a modified version of their algorithm in which the initial edge coloring is generated randomly. The new time complexity is proved to be $O(n^{1/2} m^{3/2+\varepsilon })$for arbitrarily small constant $\varepsilon >0$with high probability for sufficiently large $n$,which is better than Xie at al.'s original algorithm when the graph is dense and $k$ is small.