1 0 0 0 距離空間における位相次元の研究
本研究では距離空間に現れる位相次元の特性を調べ、その他分野への応用について研究した。その成果を以下に要約する。服部は山田との共同研究により、距離空間上に定義される二つの超限次元、大きい帰納次元lndと順序次元O-dimの関連を調べ、「距離空間Xにおいて、Xがlndを持つことと、XがO-dimを持つこととは同等であり、、かつlndX<O-dimXが成り立つ」ことを証明した。これは、F.G.Arenasの問題に対する肯定解である。距離空間の群構造に関して服部は、「実数空間上の通常の位相より弱く、点列{2n:n=1,2,...}が0に収束し、さらに位相群となる距離位相が存在する」ことを証明し、「そのような位相で線形性を保つものは存在しない」ことを証明した。これは、R.Fricの問題の解である。位相群に関しては更に、山田により距離空間の自由群の位相構造について研究され、自由群の位相構造がその近傍系により表現されることが示された。また、Shakhmatovは、コンパクト生成な距離位相群や、自由アーベル位相群における位相的性質を次元論の観点から調べた。服部は、順序空間における連続関数の拡張性について調べ、「完全正規な順序空間において、ある条件を満たせば、Dugundjiの拡張定理が成立する」ことを証明した。そして、服部はGruenhageと大田との共同研究により、順序空間の部分空間でDugundjiの拡張性を持つものを決定した。これにより、Heath-Lutzer、van Douwenの問題は完全に解決された。順序空間における完全正規性と被覆的性質については、三輪により研究された。野倉とShakhmatovは、距離空間上の超空間における連続な選択関数の存在性について研究した。吉川と前田は微分幾何学的立場より、複素射影空間内における円形の構造について研究した。服部は距離空間おけるfinitistic spacesの性質について研究し、finitistic spacesに対する万有空間の存在、及びPasynkovのタイプのfactorization theoremを証明した。相川は、調和関数と測度そして位相次元との関連について研究した。
1 0 0 0 OA 計算可能性と粗いトポロジーに関する距離空間の次元様相
本研究では主に計算理論へのトポロジーの応用と距離空間における次元の解析とその応用に関する研究を行った。前者においては、距離空間の計算モデルである形式的球体のドメインのMartin位相に関する研究から示唆された実数直線上のSorgenfrey型位相τ(A)の解析を行い、τ(A)がSorgenfrey位相自身と同相となる必要条件等を得た。また、図形のデジタル化におけるモデル空間であるKhalimski空間の部分空間に対するn次元性の表現を求めた。後者においては、帰納的次元のHurewicz形式と超限分離次元の振る舞い、及び種々定義されてきた小帰納的次元の統一的定義の提唱とそれらの相関関係を調べた。