1 0 0 0 OA アダマール多様体の理想境界とケーラー磁場
まず1つの軌道に対してその始点と軌道上の各点を測地線で結んで構成される軌道ハープについて、構成された測地線分の長さやそれらの初期ベクトルが作る天頂角を考え、ケーラー多様体の断面曲率が上から評価されているという条件の下で長さと天頂角の下からの評価を与えた。次に、磁力がアダマール・ケーラー多様体の曲率に比べて小さいとき、軌道の非有界性と、磁性指数写像の微分同相性を示した。更に、1つの測地線に対してその始点と各点とを結ぶ軌道で構成される軌道ホルンを考え、磁力と断面曲率との関係を満たせば多様体上の点と理想境界上の点とを結ぶ軌道がただ1本存在し、理想境界の異なる2点を結ぶ軌道が存在することを示した。
1 0 0 0 ケーラー磁場による線織実曲面
リーマン多様体の構造を考察する場合、測地線の研究は非常に有益な手がかりを与える。本研究では、曲線族の種類を増やすことでより多くの情報を獲得し多様体の構造をより詳しく調べられるのではないかという視点に立ち、ケーラー多様体をケーラー形式の定数倍というケーラー磁場による軌道を中心にして考察を行った。1比較定理ケーラー磁場の軌道を基に線織面上に作ったクロワッサン形について、断面曲率の上からの評価の下に周の長さを複素空間形内の弓形の周の長さで評価することができた。逆に断面曲率の下からの評価の下に扇形の弧の長さを複素空間形内の扇形の弧の長さで評価することができた。2複素空間形内の測地球上の佐々木磁場による軌道の考察ケーラー磁場を磁性単体の立場から測地球上の軌道と半径方向とに分解して考察する基礎として、複素空間形内の測地球上で佐々木磁場を考え、その軌道を構造れい率により分類し軌道の周期などの性質を考察した。測地球は佐々木多様体としてのモデル空間であるが、複素空間形上のケーラー磁場の軌道と様子を異にし同じ周期を持つ互いに合同ではない軌道が存在することがわかった。3等長はめ込みによる特徴付けケーラー多様体を実空間形に等長的に埋め込むという構造剛性の下で曲線族としては2次的な点を持つという形に緩めて考察を行った。埋め込みの誘導写像が2次性と測地曲率の対数微分を保つという条件の下ではケーラー多様体は複素空間形の全臍的はめ込みか第1標準はめ込みになる。2次性を保つという条件を緩め外形が2次的であるとすると平行に埋め込まれる階数2のエルミート空間が追加される。
1 0 0 0 距離空間における位相次元の研究
本研究では距離空間に現れる位相次元の特性を調べ、その他分野への応用について研究した。その成果を以下に要約する。服部は山田との共同研究により、距離空間上に定義される二つの超限次元、大きい帰納次元lndと順序次元O-dimの関連を調べ、「距離空間Xにおいて、Xがlndを持つことと、XがO-dimを持つこととは同等であり、、かつlndX<O-dimXが成り立つ」ことを証明した。これは、F.G.Arenasの問題に対する肯定解である。距離空間の群構造に関して服部は、「実数空間上の通常の位相より弱く、点列{2n:n=1,2,...}が0に収束し、さらに位相群となる距離位相が存在する」ことを証明し、「そのような位相で線形性を保つものは存在しない」ことを証明した。これは、R.Fricの問題の解である。位相群に関しては更に、山田により距離空間の自由群の位相構造について研究され、自由群の位相構造がその近傍系により表現されることが示された。また、Shakhmatovは、コンパクト生成な距離位相群や、自由アーベル位相群における位相的性質を次元論の観点から調べた。服部は、順序空間における連続関数の拡張性について調べ、「完全正規な順序空間において、ある条件を満たせば、Dugundjiの拡張定理が成立する」ことを証明した。そして、服部はGruenhageと大田との共同研究により、順序空間の部分空間でDugundjiの拡張性を持つものを決定した。これにより、Heath-Lutzer、van Douwenの問題は完全に解決された。順序空間における完全正規性と被覆的性質については、三輪により研究された。野倉とShakhmatovは、距離空間上の超空間における連続な選択関数の存在性について研究した。吉川と前田は微分幾何学的立場より、複素射影空間内における円形の構造について研究した。服部は距離空間おけるfinitistic spacesの性質について研究し、finitistic spacesに対する万有空間の存在、及びPasynkovのタイプのfactorization theoremを証明した。相川は、調和関数と測度そして位相次元との関連について研究した。
1 0 0 0 OA ケーラー磁場とグラフ
ケーラー多様体の部分多様体の性質を調べるために、概接触構造から誘導される自然な閉2形式を考え、その定数倍である佐々木磁場の下での荷電粒子の等速運動について考察した。佐々木磁場は一様な力が働く磁場ではないため、軌道が古典的なフレネ・セレーの公式に関して単純である2次の曲線になっているかという観点に着目した。複素空間形といわれる対称性の高いケーラー多様体内の測地球面をはじめとするA型実超曲面上にはこのような軌道が存在し、しかもこのような軌道の量により複素空間形内の部分多様体族の中でA型実超曲面は特徴付けられることがわかった。更に、閉じた2次の曲線になる軌道の長さが数直線上にどのように分布するかを明らかにした。一方、ケーラー多様体の離散モデルの提案にも取り組み、辺が2色に彩色されたグラフがその候補であることを、グラフ上の閉じた道と磁場の下での閉軌道とを対応させ、両者の長さの分布状況に類似点があることを裏付け証拠として示した。