1 0 0 0 チェビシェフ級数展開と加速法による半無限振動積分
- 著者
- 長谷川 武光 鳥居 達生
- 出版者
- 一般社団法人情報処理学会
- 雑誌
- 情報処理学会論文誌 (ISSN:18827764)
- 巻号頁・発行日
- vol.26, no.6, pp.985-993, 1985-11-15
- 被引用文献数
- 1
緩減少かつ定符号の関数にf(x)に対する無限援動積分J(a ∞)=∫^^∞__af(x) cosωx dx (∫^^∞__af(x) sinωx dx)に対する自動積分法を示す.この積分は符号が交代する無限級数の形で表されるが その収束が非常に遅いので困難な問題とされている.収束を速めるため Sidiの一般化リチャードソン補外法を加速法として適用する.カロ速の入力数列は関数f(x)のチェビシェフ展開を利用して不定積分J(a x)を求めておくことにより能率的に計算されるこのとき3項漸化式の最小解を安定に求める算法が効果的に利用される.数値例によって本自動積分法が能率の高い方法であることが示される.
1 0 0 0 積型積分の自動積分法べき型特異点の場合
有限区間(一般性を失うことなく[-1,1]とおく)上の、滑らかな関数f(t)と特異関数K(t)との積の積分(積型積分)∫^1_<-1>K(t)f(t)dtの近似値を求めることは、通常の積分則では困難である。ここでK(t)として、例えば|t-c|^α(α>-1)、log|t-c|(-1≤c≤1)、主値(t-c)^<-1>などの特異関数や激しい振動関数e^<iwt>(ω≫1)である。特異点が積分区間の端点のとき、一般的に有効な積分則があるが、区間内に特異点をもつ積分には個別の扱いが要求される。本論文では、我々が発表してきた一連の積型積分の自動積分法(例えば[2])の続きとして、特にべき型特異関数K(t)=|t-c|^α(α>-1)に対する不定積分Q(x,y,c)=∫^y_x|t-c|^αf(t)dt, -1≤x,y,c≤1,(1)の与えられた{(x,y,c)}の組に対する近似値の組{Q_N(x,y,c)}を能率的に計算する。本方法はクレンショー・カーチス則[3]の一般化である。積分(1)のf(t)をチェビシェフ多項式T_k(t)の有限和f(t)~p_N(t)=Σ^^N__<k=0>"a^N_kT_k(t),(2)で近似して、積分の近似値Q_N(x,y,c)はQ(x,y,c)~Q_N(x,y,c)=∫^y_x|t-c|^αp_N(t)dt,(3)となる。もしf(t)が滑らかなら、p_N(2)はNの増大と共に速く収束する。3項漸化式を利用して、近似(3)の積分の値を計算できる(2節参照)。f(z)の解析性を仮定すると、複素積分表示を利用して近似(3)の打ち切り誤差が見積られる(4節参照)。この推定誤差を満足するまで、収束する近似値の列{Q_N}を反復的に作る。この際、従来はNをN=2^n(n=1,2,…)として増大させた。ここでは、我々が既に示したようにN=3×2^n,4×2^n,5×2^n,(n=1,2,…),(4)より緩やかにNを増大させ、誤差推定の機会を増すことにより、無駄な標本数を減らし、自動積分法の能率を高める。チェビシェフ展開係数α^N_k(2)は高速フーリエ変換(FFT)により能率的に計算される。数値例を用いて、滑らかな関数f(t)に対して本方法が有効であることを示す。