7 0 0 0 OA 超幾何関数の研究
3 0 0 0 QKZ方程式とMacdonald多項式
研究代表者はジャック多項式及びそのq-類似であるところのマクドナルド対称多項式(正確にはそのA型)の具体的な積分表示に既に成功していた。本年度はこれを出発として、QKZ方程式、マクドナルドの作用素に付随する固有値問題などを、積分を軸として多角的に考察することを目標にしていた。その具体的成果は次の通りである。1)Cherednikの意味でのルート系A型に対するQKZ方程式の積分表示解を与えた。しかし、積分領域たるサイクルに関する議論は先延ばしにしてあり、その意味で正確にいえば、ある種のコホモロジークラスにおける解を与えたことになっている。サイクルに関する具体的な考察は今後の課題である。文献1。2)1)のQKZ方程式の積分表示解の議論から、マクドナルド作用素の固有函数の積分表示解(これも上述の意味)の予想を得ていたがそれに関する証明を野海正俊氏との共同研究により二通り与えた。これによりマクドナルドの作用素に付随する固有値問題を積分を通して議論することが可能になった。文献2。3)2)で与えた積分表示の積分領域を考察することにより、マクドナルドの作用素に付随する固有函数の有理函数解を抽出した。このことから直ちにQKZ方程式の有理函数解が得られる。特殊な場合にワイルの指標公式を含んでいることから、逆にその一般化と見なすことができるものである。(論文準備中)4)マクドナルド対称多項式の積分表示における積分領域を漸近解析の感覚を頼りに考察することで、マクドナルド対称多項式の内積値を計算してみせた。これはマクドナルドの内積値予想(正確にはそのA型)と呼ばれるていたもので、それの別証を与えたことになっている。文献3。5)マクドナルド対称多項式はダンクル作用素の固有函数として捉えることもできるが、逆にダンクル作用素の固有函数には対称でない多項式も含まれる。これがマクドナルド非対称多項式である。代表者はこの多項式に関する再生核公式を野海正俊氏との共同研究により導いた。文献4。
1 0 0 0 超幾何関数の幾何的研究
超幾何関数に関する以下の結果を得た。1)塩山積分に付随する捻表・裏路地群の交叉数を算出し塩山関数に新たな組み合わせ幾何的意味を発見した。またこの結果を共形場理論に応用し、共鳴する場合も調べた;これは単なる定理の改良でなく、応用上の要求に答えるためであった。2)共変関数論を創設した。河童関数を発見;従来保型関数・形式は第一種狐群のみを対象としてきたが、ここに第二種でも面白い物が(身近に)あることを例によって示した。従来の超幾何多項式とは異なる、3つの整数で径数付けられる新しい超幾何多項式系を発見。3)楕円芋蔓関数の乱舞だ関数の新しい無限積表示を発見(手多のそれとは全く異なる)。4)超幾何的黒三角形の内角が一般のときにその形を調べた。被覆面の表示法を工夫した。5)白頭絡補空間に入る又曲構造を又曲空間上の保形関数を構成して具体的表示に成功。6)超幾何的測多価群が一寸来群のとき堆肥村空間と係数空間の関係を調べた。7)超幾何的黒写像研究は百年以上続いてい、前世紀は高次元化がなされたが、ここに新たにより自然な的を持つ又曲黒写像を考案して、(特異点的微分幾何的)研究を始めた。8)3次元李群の働く曲面を調べた;特にSL(2,R)が働く曲面を詳しく調べた。知恵備匠多項式の超幾何的補間から生じる李代数が3次元になる条件を求めた。
1 0 0 0 OA 特殊函数の現代的発展-表現論と複素積分からのアプローチ
ガウスの_2E1,一般超幾何函数_{n+1}E_n, アッペルのE_1, E_2, E_3, ジョルダン・ポッホハンマー E_{JP}, そしてラウリッツェラのE_Dなる微分方程式(系)の解の基本系を積分表示で与え,それについての回路行列を明示的に求め,応用として,微分方程式の既約条件を決定した.また F_2, F_3, F_4の場合,隣接関係を調べることにより,対応する微分方程式の可約条件を与えた.E_1~E_4, F_A~F_D, _{n+1}E_nおよびゲルファントの点配置空間上の超幾何微分方程式系について,ある多価函数のサイクル上の積分が解を与えることを示した.