1 0 0 0 OA CM体の相対類群の構造と類数1問題
同時ペル方程式x^2-a z^2=y^2-b z^2=1の正の整数解の個数が2個以下だという定理を証明し, 雑誌論文として発表した. また, より一般的で, 代数的数体との関係の深い不定符号の一般化された同時ペル方程式|a_1 x^2-a z^2|=|b_1 y^2-b z^2|=4, (a_1, a, b_1, b : 正のパラメーター, x, y, z : 未知整数)を研究した. 不定符号の一般化された同時ペル方程式に適用できるようにYuanのp-進的な間隙原理を一般化した. 実複2次体の類群の研究の発展につながる研究であり, 8次以上のCM体の類群の構造の研究にフィードバックが期待される.導手が2の巾の円分体の実部文体の類数が常に1であるとのWeberの予想がある. Weberのこの予想の研究に単数の大きさの下からの評価が有効である. 類体論の計算的側面や不定方程式の研究で培った技術を応用することにより、次のような評価を得た : Kを該当する体の1つとし, その導手をfで表す. FをKの部分体のうち[K:F]=2を満たす唯一のものだとする. Kの単数εのFへのノルムが-1であるとの条件の下で, εの平方の有理数体へのトレースはf(f/2-1)/4以上である.
Caratheodoryの補間問題などに登場するPerronの連分数についてはChebyshev連分数のqdアルゴリズムに相当する計算量O(N^2)の連分数展開算法は知られていなかった.これに対して,まず,単位円周上の直交多項式の理論を基礎として,直交多項式の3項漸化式をLax表示とする新しい可積分系Schurフローを導出し,その差分化によって離散時間Schurフローの漸化式を与えた.さらに,離散時間SchurフローによるO(N^2)の計算量のPerron連分数展開アルゴリズムと代数方程式の零点計算アルゴリズムを定式化した.これにより,1)古典直交多項式-Chebyshev連分数-Toda方程式,2)単位円周上の直交多項式-Perronの連分数-Schurフローという対応図式が完成した.Thronの連分数の計算アルゴリズムの開発にも取り組んだ.まず,双直交多項式の3項間漸化式をLax表示とする可積分系である相対論戸田方程式に注目し,その可積分な離散化によって離散時間相対論戸田方程式のタウ関数解を見い出した.さらに,このタウ関数解の漸化式を用いて,Thronの連分数をO(N^3)の計算量で計算する連分数展開アルゴリズムを定式化した.従来,Thronの連分数については離散可積分系に基づく算法は知られていなかった.通常のFGアルゴリズムでは分母が零となり計算できない場合でも本アルゴリズムによって連分数が求められることもわかった.また,第2種Painleve方程式PIIの解のBacklund変換をLax対の両立条件としで表し,さらに,Lax対のひとつを直交多項式の3項間漸化式とみて,直交多項式に関連した連分数の係数がBacklund変換により相互に代数的に結ばれることを示した.この連分数がAiry関数のLaplace変換の連分数展開を与えることを証明した.