著者

梅村 浩 川平 友規

出版者

名古屋大学

雑誌

基盤研究(C)

巻号頁・発行日

2008

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(1)ガロア理論の同値性。一般微分ガロア理論には、Malgrange 理論(2001)と研究代表者によるもの(1996)がある。 前者は幾何学的であり、後者は代数的である。 代数的にジェット空間のなす Lie groupoid を構成することにいより、 両者が同値の理論であることを示した。(2)差分ガロア理論の提唱とその力学系への応用。差分方程式の一般ガロア理論を構成した。それを閉リーマン面上の離散力学系に応用して、閉リーマン面上の力学系でガロア群が有限次元であるものを決定した。 それらの力学系のガロア群は可解であるので、閉リーマン面上の離散力学系で可積分なものを決定したと言ってもよい。(3)ガロア理論の量子化。研究代表者の学生であった F. Heiderich は我々の一般ガロア理論が微分方程式や差分方程式のみならず、 一般の Hopf 代数の作用に関する関数方程式にまで拡張できることを発見した。この理論を具体的に意味付ける研究を開始し、成果を上げ始めている。

著者

川平 友規

出版者

東京工業大学

雑誌

若手研究(B)

巻号頁・発行日

2012-04-01

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複素力学系理論とは,複素数全体の集合(もしくはそれを拡張した空間)にある種の運動法則を与えた系を考え,その時間発展を解析する理論である.本研究では,系の運動法則が複素パラメーターに依存するとき,系が不安定に変化するようなパラメーターの集合について研究した.この集合は力学系自身のカオス部分とある種の相関性があり,互いに性質を制限し合っている.これらの間の橋渡し役として「ザルクマンの補題」を用いて,おもに2次多項式族について種々の結果を得た.

著者

川平 友規

出版者

名古屋大学

雑誌

若手研究(B)

巻号頁・発行日

2008

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複素力学系理論とは,複素数全体の集合(もしくはそれを拡張した空間)にある種の運動法則を与えた系を考え,その時間発展を解析する理論である.系の運動法則をわずかに変化させた場合,系全体が安定に変化する場合とカオス的に変化する場合があるが,じつは「ほとんどの場合」,安定していることが知られている.本研究では,その「ほとんど」を占めるものが何か特定することを目標とし,おもに幾何学的アプローチによる研究を行った.

著者

川平 友規

出版者

名古屋大学

雑誌

若手研究(B)

巻号頁・発行日

2005

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1.1990年代,リュービッチとミンスキーはクライン群に付随する3次元双曲多様体のアナロジーとして,複素力学系に付随する3次元双曲ラミネーションを定義した.特に,クライン群におけるモストウ剛性のアナロジーにより,ある種の複素力学系の剛性定理を証明している.一方で,3次元双曲多様体に比べ,3次元双曲ラミネーションの構造の詳細は未だ限られた例を除きほとんど知られていない.今年度は昨年度から引き続き,無限回くりこみ可能な2次多項式に付随するリーマン面ラミネーションの構造について研究(カブレラとの共同研究)し,以下の結果について論文を発表した:(1) 無限回くりこみ可能な2次多項式は,チューニング不変量と呼ばれる組み合わせ的な不変量(超吸引的な周期点をもつ2次多項式の列によって記述される)をもつ.一般に,無限回くりこみ可能な2次多項式が特異軌道が持続的回帰性をもつとき,その2次多項式に付随するリーマン面ラミネーションほチューニング不変量に2次多項式に付随するリーマン面ラミネーションと同相な「ブロック」を可算無限個つなぎ合わせることで「ほぼ」得られる.(2) 上記の性質を満たし,かつアプリオリ・バヴンドと呼ばれる幾何的な条件を満たす無限回くりこみ可能な2次多項式について,そのリーマン面ラミネーションと別の2次多項式のリーマン面ラミネーションが向きをこめて同相でれば,ふたつの2次多項式はおなじチューニング不変量をもつ.特に,マンデルブロー集合(2次多項式のパラメーター空間)が前者に対応する点において局所連結であれば,前者と後者は同じ2次多項式である.特に(2)は,力学系から得られる幾何学的な対象が逆に力学系を決定する,という意味で,モストウ剛性に近い剛性定理といえる.2. その他,放物的分岐におけるハウスドルフ次元の微分の評価,ゴールドバーグ・ミルナー予想の研究などを行った.