1 0 0 0 OA モチヴィックコホモロジーおよび周期とレギュレーターの数論的研究
本研究課題においては、代数多様体の周期積分とレギュレーターの研究を数論的観点から行った。一連の研究において、超幾何関数は主要な役割を果たしている。研究成果は、大きくわけて3種類に分類される。ひとつは、代数多様体の周期積分に関するグロス・ドリーニュ予想の研究であり、パリ大学のフレサン氏との共同研究である。ふたつ目は、超幾何ファイブレーションのレギュレーターに関するものであり、これは千葉大学の大坪紀之氏との共同研究である。最後に、p進レギュレーターに関する研究成果をあげた。これは広島大学の宮谷和尭氏との共同研究である。いずれの研究成果も論文にしており、将来的に出版する予定である。
1 0 0 0 OA コホモロジーによる代数的サイクルの研究
代数的な多様体(代数方程式で定義された図形)の上のベクトル束を調べる道具としてチャーン類というものがある。これはベクトル束がどれくらい(あるいは、どのように)ねじれているかをコホモロジーとよばれる線形空間の中で測る「物差し」である。本研究では、「そもそもチャーン類はどのようなコホモロジーの中で定義され得るのか?」という素朴な疑問から出発し、最小の条件(公理)を定式化した。さらにそのようなコホモロジーにおいてリーマン・ロッホの定理が実際に成り立つことも証明した。
1 0 0 0 ホッジ理論と代数的サイクルの研究
代数的サイクルと混合モチーフについて研究している。混合モチーフは数論的代数幾何学における壮大な構想であり、理論として確立されたあかつきには、代数幾何学のみならず整数論へも数多くの深い応用をもつことが期待されている重要な分野である。しかし多くの優れた研究者の努力にも関わらず、混合モチーフはいまだ定義すらない極めて研究の困難な分野でもある。私は特に複素数体上の混合モチーフの理論を確立することを目的として研究してきた。これまでに、数論的ホッジ構造という概念を導入し、代数曲面上の0-サイクルや、代数曲線のK群についてのブロック予想について研究してきた。本年度の研究では、代数曲線のK群に関して新しい方向へ踏み出していった。より詳しく説明すると、これまで研究によって代数曲線のK群の研究にはベイリンソン・ホッジ予想が鍵となることが分かっているが、その予想を管状近傍型多様体に対して一般化することを試み、肯定的な結果を得ることができた。但し、予想そのものは未だ解決されておらず今後の研究の進展が待たれる。更にこの研究から派生する問題として、クレメンス・シュミット完全列に関する研究結果を得た。これは既に投稿済みであり掲載が決まっている。
1 0 0 0 ホッジ理論と代数的サイクルの研究
昨年度より代数的サイクルと混合モチーフについて研究している。混合モチーフは数論的代数幾何学における壮大な構想であり、理論として確立されたあかつきには、代数幾何学のみならず整数論へも数多くの深い応用をもつことが期待されている重要な分野である。しかし多くの優れた研究者の努力にも関わらず、混合モチーフはいまだ定義すらない極めて研究の困難な分野でもある。私は特に複素数体上の混合モチーフの理論を確立することを目的として研究してきた。これまでに、数論的ホッジ構造という概念を導入し、代数曲面上の0-サイクルや、代数曲線のK群についてのブロック予想について研究してきた。本年度の研究では、代数曲線のK群に関して更なる研究結果を得ることに成功した。より詳しく説明すると、これまでK群の元を扱うときにその元のサポートに条件がついていたのであるが、その条件を弱めることができた。鍵となるのはベイリンソン予想であるが、これについてネーター・レフシェッツ型の定理を、斎藤秀司氏と共同で証明することができた。これらの研究結果は、論文として執筆中である。また多くの研究集会、セミナー等においても講演した。特に本年度は、フランスのフーリエ研究所における研究集会において講演する機会を得た。