3 0 0 0 OA 数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開
本年度は数理物理学と代数幾何学との結びつきを重要視し,ミラー対称性とそれの周辺に関するシンポジュームを11月11日から11月15日にかけて京都大学にて国際シンポジュームを開催し,多くの最新の知見の交流を行うことに成功した.それ以外にも2班から構成する研究グループは活発に研究を進めており,以下のような成果をあげている.第一班:(中島)アファイン・グラスマン多様体上の構成可能層の性質を抽象化し、ring object として定式化した.特に,幾何学的佐武対応を通じて正規表現に対応する ring object を構成要素として,Moore-立川によって予想されていた新しいシンプレクティック多様体の構成を与えた.(並河)錐的シンプレクティック多様体の中で複素半単純リー環のべき零軌道閉包の特徴付けを行った.(望月)円周と複素直線上の特異モノポールについて,``一般化されたCherkis-Kapustin型(GCK型)''という条件を導入し,そのような特異モノポールと安定パラボリック差分加群との間の小林-Hitchin対応を確立した.(入谷)トーリック軌道体の標準類を保たない双有理変換の下での量子コホモロジーD加群の変化を研究した.(立川)様々な次元の超対称場の理論の数理の研究を続けるとともに,超対称場の理論とトポロジカルな場の理論の関連をしらべることをはじめた.第二班:(森脇)Paris7大学のHuayi Chen氏との共著の本の執筆を中心に研究を進め,非被約なスキームに対する半ノルム付き拡張定理の証明に成功した,(向井)2変数クレモナ群の研究を続け、射影平面内の6直線の分解群や上野・CampanaのCoble曲面の自己同型群を決定した.(吉川)高次元エンリケス多様体の不変量を解析的捩率を用いて構成し、それにより,ヴェイユ・ピーターソン計量のポテンシャル関数が得られた.
1 0 0 0 超弦理論を援用した、4次元超対称ゲージ理論の非摂動的側面の研究
本年度も、昨年に引き続き超対称ゲージ理論の研究を超弦理論の観点を援用しつつ行った。特に、その中でも、超対称性に加えてスケール変換のもとでの不変性をもつ、超共形ゲージ理論について研究を行った。これらは、強結合であるため安直な摂動的な解析が適用できないが、ここに超弦理論の効能があらわれる。すなわち、超弦理論によれば、通常の4次元の超共形場理論は、1次元高い5次元の超重力理論をアンチドジッター空間上で考えたものと等価であることがわかる。この際、片側が強結合であればもう片側が弱結合になるため、解析が可能になるのである。具体的には、10次元のIIB型超弦理論を、5次元のアンチドジッター空間と5次元の佐々木アインシュタイン空間の積の上で考えたものを解析すれば良い。さて、そのような立場からの研究として、最大の超対称性をもつ理論に関してはこの10年に非常に沢山の研究があるが、最小の超対称性をもつものに関してはここ数年研究が深化した興味深い分野であり、今年度の私の力点はそこにあった。最小の超対称性をもつ超共形場理論の解析のために基本的なデータは、その理論の大域対称性三つの間の三角量子異常である。以上の議論から、その三角量子異常は、重力理論側のデータであらわせるはずである。超共形場理論の種別に対応するのは5次元の佐々木アインシュタイン空間の種別であるから、それら空間の幾何学であらわせるはずである。以上のような考察のもとから、S. BenvenutiとL. A. Pando Zayasの協力のもと、佐々木アインシュタイン空間の幾何学と超共形場理論の三角量子異常の関連について精密に明らかにしたものが今年度の発表論文である。これは超共形場理論の解析において今後基本的な方法となると思われる。