1 0 0 0 多様体上の葉層構造と力学系
多様体の葉層構造の葉の法方向に関しては色々な不変量が定義されて多くの研究があるが、葉の接方向に関する研究は余り多くない。接方向にアファイン構造を持つ場合には各葉がアファイン多様体になり、その上のアフィン関数が考えられるが、最も基本的なトーラスの場合、アフィン関数はコンパクト葉の上の値で完全に決定され、関数空間の次元がホロノミーによって決まる状況がほぼ完全に解明された。シンプレクティク多様体のラグランジ部分多様体による葉層構造の各葉は接方向にアフィンであり、任意のアフィン多様体はこのようにして実現される。又、コンタクト多様体のルジャンドル部分多様体による葉層構造の各葉は接方向に射影構造を持ち、任意の射影多様体はこのようにして実現される。これらのことが同次座標を使うことにより平行して見通しよく示された。コンタクト多様体の典型的な例であるリーマン多様体の単位接束はCR構造を持つがこれのある(1,3)型のゲージ不変量が消えるための必要十分条件は、リーマン多様体が定曲率-1であることが示された。葉層構造の不変量として最初に発見されたGodbillon-Vey不変量は位相不変が、又G-Vが0なら葉層構造が0に同境かという2大問題はC^<1+α>、P.L.葉層にまでGVを拡張し、かなり研究が進展した。一次元葉層構造と考えられる力学系に関しては、平面の位相同型写像が力学系(=流れ)にうめ込めるかという問題が、写像の非ハウスドルフ集合と関連して研究された。又3次元多様体上の法方向にアフィンである流れで完備であるものについて古典的なり一群を用いて多くの例を構成し、ほぼ分類が完成された。
1 0 0 0 OA 可積分系を用いた微分幾何学と量子コホモロジーの新しい関係の構築
- 著者
- MARTIN Guest 神島 芳宣 徳永 浩雄 前田 吉昭 宮岡 礼子 河野 俊丈 大仁田 義裕 酒井 高司 SERGEI V Ketov 赤穂 まなぶ 乙藤 隆史 小林 真平 黒須 早苗
- 出版者
- 早稲田大学
- 雑誌
- 基盤研究(A)
- 巻号頁・発行日
- 2009
報告者は興味深い非自明な現象を示す,いくつかの重要な例についての進展を得ることが出来た.論文 "Nonlinear PDE aspects of the tt* equations of Cecotti and Vafa" (M. Guest and C.-S. Lin, J. reine angew. Math., 印刷中)では,tt*-戸田方程式の,滑らかな解の族の存在を示した.これは技術的観点に於けるブレイクスルーである,すなわち,既存のループ群論的アプローチが適用できない非コンパクトの場合にも,偏微分方程式論が有用であることを示したことは大きな進展である."Isomonodromy aspects of the tt* equations of Cecotti and Vafa I. Stokes data" (M. Guest, A. Its, and C.-S. Lin, arXiv:1209.2045) に於いてはtt*-戸田方程式の解の大域的な滑らかさを,付随する線形方程式のモノドロミーデータ(ストークスデータ)に関連付けることにより,また別の技術的側面に関するブレイクスルーがあった.より詳しくには,tt*-戸田方程式の全ての滑らかな大域解に対して,そのストークスデータを明示的に計算することが出来た.これらの技術はまた,微分幾何学に於けるその他の問題にも適用可能であると推測される。
1 0 0 0 OA 幾何学と可積分系理論の融合と発展
- 著者
- 宮岡 礼子 大仁田 義裕 小谷 元子 山田 光太郎 岩崎 克則 梶原 健司 中屋敷 厚 長友 康行 佐々木 武 岩崎 克則 大津 幸男 梶原 健司 長友 康行 中屋敷 厚 山田 光太郎 二木 昭人 マーティン ゲスト ウェイン ラスマン 庄田 敏宏 入谷 寛 石川 剛郎 梅原 雅顕 川久保 哲 田丸 博士 藤岡 敦 松浦 望 西納 武男
- 出版者
- 東北大学
- 雑誌
- 基盤研究(A)
- 巻号頁・発行日
- 2007
等径超曲面の分類問題の大部分を解決し,運動量写像で表現することにより,可積分系理論との関連性を根拠づけた.特異点をもつ曲面の基礎理論を進展させ,種々の局所・大域理論を明らかにし,ルジャンドル写像を用いた新しい視点を開発した.リーマン・ヒルベルト対応を介してパンルヴェ方程式の力学系を研究し,カオス性の観点を開拓した.高種数Gromov-Witten理論のモジュラー性,ミラー対称性を論じ,また量子コホモロジーから得られる正則微分をポテンシャルにもつ曲面の構成を通じて,tt*幾何に貢献した.