著者

黒木 玄

出版者

一般社団法人 日本物理学会

雑誌

大学の物理教育 (ISSN:1340993X)

巻号頁・発行日

vol.98, no.2, pp.25-28, 1998

参考文献数

16

著者

黒木 玄

出版者

一般社団法人 日本物理学会

雑誌

大学の物理教育 (ISSN:1340993X)

巻号頁・発行日

vol.98, no.2, pp.25-28, 1998-07-15 (Released:2018-04-27)

参考文献数

16

著者

黒木 玄

出版者

東北大学

雑誌

基盤研究(C)

巻号頁・発行日

2011-04-28

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任意の対称化可能一般カルタン行列に付随するワイル群双有理作用で生成されるτ函数の量子化を構成した。たとえば、一般カルタン行列がアフィンA_2型ならば量子化されたτ函数は量子パンルヴェIV方程式のτ函数になる。古典版のτ函数は従属変数に関する多項式になる。その結果の量子化を証明した。すなわち、量子化されたτ函数は量子化された従属変数に関する多項式になることを示した。その証明にはカッツ・ムーディ代数の表現のBGG圏における平行移動函手を用いた。以上の構成は量子群を用いて、q差分版の場合に拡張される。

著者

黒木 玄

出版者

京都大学数理解析研究所

雑誌

数理解析研究所講究録 (ISSN:18802818)

巻号頁・発行日

vol.929, pp.103-134, 1995-11

著者

黒木 玄

出版者

京都大学数理解析研究所

雑誌

数理解析研究所講究録 (ISSN:18802818)

巻号頁・発行日

vol.778, pp.42-49, 1992-03

著者

黒木 玄

出版者

京都大学

雑誌

数理解析研究所講究録 (ISSN:18802818)

巻号頁・発行日

vol.929, pp.103-134, 1995-11

著者

黒木 玄

出版者

京都大学

雑誌

数理解析研究所講究録 (ISSN:18802818)

巻号頁・発行日

vol.778, pp.42-49, 1992-03

著者

黒木 玄

出版者

東北大学

雑誌

奨励研究(A)

巻号頁・発行日

1994

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アフィン・リー環(捻れたアフィン・リー環を含む)の脇本表現を構成した.それを利用して,アフィン・リー環に関する一般化されたカッツ・カズダン予想を証明した.これは捻れのないアフィン・リー環のABC型の場合に対しては、別の方法によって,名古屋大の林氏などによって証明されていた結果の拡張になっている.一般化されたカッツ・カズダン予想とは,臨界レベルにおけるアフィン・リー環の「簡約された」ヴァーマ加群が定義されて、それはその最高ウェイトが一般の位置にあるとき既約になるという形に定式化される.(論文は現在準備中)

著者

黒木 玄

出版者

日本評論社

雑誌

数学セミナ- (ISSN:03864960)

巻号頁・発行日

vol.41, no.3, pp.30-33, 2002-03

著者

黒木 玄 長谷川 浩司 黒木 玄

出版者

東北大学

雑誌

基盤研究(C)

巻号頁・発行日

1997

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黒木玄は,楕円曲線上の共形場理論と楕円函数係数の量子可積分系の研究を行なった.一つ目の仕事は,楕円古典γ行列が現われる楕円曲線上の捻れヴェス・ズミノ・ウィッテン(WZW)模型と楕円ゴーダン模型の代数幾何的構成である.ここで,楕円曲線上の捻れWZW模型とは,楕円曲線上のある種のリー環束から自然に構成される共形場理論のことである.その共形ブロックの満たす楕円函数版のクニツィニク・ザモロドチコフ(KZ)方程式の係数として,楕円古典γ行列が自然に現われる.楕円ゴーダン模型は,ハミルトニアンが楕円古典γ行列を用いて定義されるある種の量子可積分系のことである.臨界レベルの捻れWZW模型から楕円ゴーダン模型が導出される.これによって,楕円ゴーダン模型のハミルトニアンの母函数が,捻れWZW模型の方の菅原構成によって得られたエネルギー運動量テンソルに関するウォード恒等式から得られることがわかる.二つ目の仕事は,クニツィニク・ザモロドチコフ・ベルナール(KZB)方程式の解の積分表示式をアフィン・リー環の脇本表現を用いた構成である.KZB方程式は力学変数を含む古典γ作用素を用いて書き下される線形微分方程式系である.楕円曲線上のリー環束の変形も含めたWZW模型を適切に定式化すると,その共形ブロックの満たす方程式として,KZB方程式が現われる.そのことを利用すれば,脇本表現に付随したWZW模型の共形ブロックの積分表示式から,KZB方程式の解の積分表示式が得られる.

著者

黒木 玄

出版者

サイエンス社

雑誌

数理科学 (ISSN:03862240)

巻号頁・発行日

vol.51, no.1, pp.40-45, 2013-01

著者

黒木 玄

出版者

東北大学

雑誌

奨励研究(A)

巻号頁・発行日

2000

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共形場理論と量子可積分系の表現論的研究を行なった。楕円曲線上の臨界レベルのヴェス・ズミノ・ウィッテン(WZW)模型のボゾン化を考えることによって、カロジェロ・ゴーダン模型と呼ばれる量子可積分系の代数的ベーテ仮設法によるベーテ・ベクターが構成できることを証明した。この文脈における代数的ベーテ仮設法は数論における代数体に関するラングランズ・プログラムのコンパクト・リーマン面に関する類似に関係している。我々は関連の仕事を楕円曲線の場合に行なった。興味深いことは不思議なことに脇本表現と呼ばれるアフィン・リー環のホゾン化を用いた共形場理論の伝統的な方法によって結果が証明されていることである。その後は以下のような立場で研究を行った。我々が臨界レベルのWZW模型という立場で扱った量子可積分系は楕円曲線上のヒッチン系と呼ばれる可積分系の量子化になっており、空間方向が離散的な1次元巡回格子であるような量子系のある種の極限に成っている。すなわち、我々が扱った量子可積分系はヒッチン系と格子模型の中間にあるとみなせる。そして、臨界レベルでないWZW模型におけるクニズィニク・ザモロドチコク(KZ)方程式は等モノドロミー保存変形を記述しているシュレージンガー系の量子化になっており、空間方向を1次元巡回格子に離散化した模型に関係したq-KZ方程式のある種の極限になっている。このことに気付けば現在研究されている様々な可積分系(古典、量子、離散)の統一理論が存在しそうなことがわかる。そのような視点はこれから重要になると思われる。

著者

黒木 玄

出版者

東北大学

雑誌

重点領域研究

巻号頁・発行日

1995

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本年度は共形場理論およびそれに関係した可積分系の以下の研究を行なった:・アフィン・リー環に付随するリーマン面と主束の組の族上の共形場理論(所謂ヴェス・ズミノ・ウィッテン模型)の座標不変な定式化を与えた.・ヴィラソロ代数に付随するリーマン面の族上の共形場理論(ベラヴィン・ポリヤコフ・ザモロドチコフの模型)の座標不変な定式化を与えた.臨界レベルのアフィン・リー環に付随する任意に固定されたリーマン面上の主束の族上の共形場理論の座標不変な定式化を与えた.・臨界レベルにおける共形場理論とリーマン面に関するラングランズ・プログラムの類似の関係を研究した.・ベラヴィン・ドリンフェルトの楕円古典r行列に付随する共形場理論の定式化を与えた.それは基礎体上非分裂な代数群に付随する共形場理論の興味深い例を与える.さらに,その場合における保型形式論におけるリフティングの理論の類似を研究した.

著者

稲葉 振一郎 黒木 玄

出版者

NTT出版

雑誌

インターコミュニケーション (ISSN:09183841)

巻号頁・発行日

vol.13, no.2, pp.32-51, 2004

著者

柏原 正樹 西山 亨 行者 明彦 三輪 哲二 岡田 聡一 黒木 玄 寺田 至 小池 和彦 山田 裕史 谷崎 俊之 中島 俊樹 中屋敷 厚 織田 孝幸

出版者

京都大学

雑誌

基盤研究(A)

巻号頁・発行日

1997

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この科研費による計画においては、リー群・量子群・へッケ環などの表現論を数理物理学・組合わせ論との関係から研究した。以下、各年次における活動を記す。初年度(1997)においては、特にRIMS project1997(等質空間上の解析とLie群の表現)とタイアップして計画を遂行した。このプロジェクト研究では、等質空間という幾何的観点にたった実Lie群の表現の研究に焦点をあてた。海外からのべ約40名の参加者があり国際的な共同研究・研究交流の場が提供できた。この成果は、Advanced Studies in Pure Mathematics,vol.26に発表された。1998年は、RIMS project 1998(表現論における組合わせ論的方法)とタイアップして計画を遂行した。このプロジェクト研究では、海外からのべ約25名の参加者があり、量子群・アフィンへッケ環の表現論と組合わせ論を中心にして計画を行った。1999年は、国際高等研究所と数理解析研究所において"Physical Combinatorics"の国際シンポジュウムを開催し、数理物理と関連して研究を行った。量子群の表現論、Kniznik-Zamolodhikov方程式とそのq-変形の解の性質や共形場理論の研究を推進した。その成果は、"Physical Combinatorics,Progress in Math,vol.191,Birkhauserに発表された。2000年度は、計画の最終年として"数理物理における表現論および代数解析的方法の応用"を中心とする研究成果の発表を目的として、"Mathphys-Odyssey 2001"という国際シンポジュウムを開催した。この会議録は、Birkhauser出版から出版される予定である。

著者

梶原 健 黒木 玄 楯 辰哉

出版者

日本評論社

雑誌

数学のたのしみ

巻号頁・発行日

no.11, pp.111-123, 1999-02

著者

黒木 玄 長谷川 浩司 菊地 哲也

出版者

東北大学

雑誌

基盤研究(C)

巻号頁・発行日

2005

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本研究の目標の一つはBerenstein-Kazhdanの幾何結晶含む離散古典系の量子化であった。その重要な例として梶原・野海・山田が構成したm×n行列全体の空間への2つのA型拡大アフィンWeyl群双有理作用がある。平成17年度までに黒木はm, nの片方が2でもう一方が奇数の場合の量子化を構成していた。黒木はその結果を平成18年度にm, nが互いに素な場合にA型アフィン量子群を用いて拡張した。これによって幾何結晶の重要な例の一つと量子群が関係付けられたことになる。しかし幾何結晶と柏原結晶のLanglands双対性の存在は謎のままであり、課題として残されたままになっている。さらにその研究の副産物として量子群とWeyl群の双有理作用の量子化の関係を明確にすることができた。量子群のChevalley生成元の複素べきの作用によって任意の一般Cartan行列(GCM)に付随するWeyl群双有理作用のq差分版量子化を構成することができる。Weyl群双有理作用はPainleve系の現代的解釈において基本的なので、これによってPainleve系と量子群が関係付けられたことになる。(この構成は本質的に後述する長谷川のq差分量子版のWeyl群双有理作用も含んでいる。)さらにそれに関連してALBL=LCLD型の関係式によって特徴付けられるL作用素の重要性も明らかになった。通常の量子群のL作用素はRLL=LLR型の関係式によって特徴付けられる(FRT構成)。しかしWeyl群双有理作用を持つような量子系のL作用素を扱うためにはより一般的なALBL=LCLD型の関係式が必要になる。ALBL=LCLD型の関係式を満たすL作用素から構成される互いに可換なHamilton作用素たちはWeyl群双有理作用で不変であると予想しているが、まだ証明は付けられていない。量子版のWeyl群双有理作用で不変な作用素の構成は残された基本的問題のひとつである。以上の結果は部分的に研究集会「数理物理における新たな構造と自然な構成の探求」(名古屋大学多元数理、2007年3月5-8日)で発表された。長谷川はGCMに付随するq差分量子版のWeyl群双有理作用の構成と量子Painleve VI系の構成の2つの結果を2007年のプレプリントで発表した。菊地は通常の微分版およびq差分版のPainleve VI系を無限化積分系(ソリトン系)の相似簡約によって構成することができることを示した。

著者

黒木 玄

出版者

日本評論社

雑誌

数学セミナ- (ISSN:03864960)

巻号頁・発行日

vol.34, no.8, pp.p74-77, 1995-08

著者

宇澤 達 山田 裕二 青木 昇 藤井 昭雄 黒木 玄 長谷川 浩司

出版者

立教大学

雑誌

基盤研究(B)

巻号頁・発行日

1998

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本研究では、対称対についての研究を行った。対称対は、リー群および代数群の研究において基本的な対象である。群Gと位数2の自己同型σが対称対を与える。古典型単純リー群も、基礎体の標数が2ではないときには、一般線形群を元に、位数2の自己同型の不変元全体として定義される。したがって、標数が2ではないときには、単純リー群は有限個の例外を除いて、一般線形群の対称対として理解することができる。1)対称対の基礎理論。標数2の体の上でも、リーマン対称多様体に相当する理論が構成できることがわかった。佐武図式も定義される。標数2の体上では、位数2の自己同型の共役類の数が一般には増えることが知られている。その理由もルート系の言葉で理解することができることがわかった。2)整数環上のスキームとしての対称多様体の構成。整数環に1/2を付加した環の上での対称多様体のモデルの構成は比較的容易であるが、ここでは整数環上のスキームとしての構成ができることがわかった。3)対称多様体のコンパクト化の構成。対称多様体のコンパクト化のモデル(群Gが随伴型であるという仮定のもとに)整数環上のスキームとして構成できることがわかった。応用としては、標数2の体上では、5個の2次曲線と接する2次曲線の数が51と、標数が2ではないときの1/64となっていることの説明がある。4)ルスティックによって定義された指標層に対してラングランズ対応を定義することができることがわかった。群ではなく、より一般の対称対に対してもラングランズ対応を研究することは、ジャッケの相対跡公式ともあわせて大変興味がある問題である。5)対称対と整数論の関係。対称対に関連して、エプシュタインのゼータ関数が定義され、その特殊値についての結果が得られた。また、群と対極にある対称対に付随して、楕円曲線の族があらわれる。楕円曲線の族に関する結果も得られた。6)数理物理との関係。対称対としてあらわれるアフィンリー環についての知見が得られた。

著者

黒木 玄

出版者

日本評論社

雑誌

数学セミナー (ISSN:03864960)

巻号頁・発行日

vol.48, no.8, pp.18-23, 2009-08